Топ-100
Back

ⓘ Γεγονός, θεωρία πιθανοτήτων. Στη Θεωρία πιθανοτήτων, γεγονός, ή ενδεχόμενο, ονομάζεται ένα σύνολο απλών γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματ ..



                                               

Πληθυσμιακή γενετική

Η Πληθυσμιακή γενετική είναι πεδίο της Βιολογίας το οποίο εξετάζει την γενετική σύνθεση των βιολογικών πληθυσμών, και τις αλλαγές στην γενετική σύνθεση που προκύπτουν από την δράση διαφόρων παραγόντων, όπως είναι η φυσική επιλογή. Οι επιστήμονες που ασχολούνται με την πληθυσμιακή γενετική δημιουργούν Μαθηματικά μοντέλα για την Δυναμική Συχνότητα Γονιδίων προκειμένου να δημιουργηθούν πορίσματα που αργότερα συγκρίνονται με Εμπειρικά Δεδομένα.

                                               

Σφάλματα τύπου Α και Β

Στον στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, σφάλμα τύπου Α είναι η εσφαλμένη απόρριψη μιας πραγματικής μηδενικής υπόθεσης, ενώ σφάλμα τύπου Β, είναι η αδυναμία να απορριφθεί μια ψευδής μηδενική υπόθεση. Με πιο απλά λόγια, σφάλμα τύπου Α είναι η ανίχνευση ένός αποτελέσματος που δεν εμφανίζεται, ενώ σφάλμα τύπου Β είναι η αποτύχία να ανιχνευτεί ένα αποτέλεσμα που είναι παρόν. Οι όροι "σφάλμα τύπου Α" και "σφάλμα τύπου Β" συχνά χρησιμοποιούνται εναλλακτικά με την γενική έννοια του ψευδώς θετικά και ψευδώς αρνητικά σε δυαδική ταξινόμηση, όπως ιατρικές εξετάσεις, αλλά αναφέρονται συγκεκριμένα στον στατισ ...

                                               

Αφθαρσία της ύλης

Η αφθαρσία της ύλης ορίζεται συνήθως ως αξίωμα των φυσικών επιστημών σύμφωνα με το οποίο τίποτα το υλικό δεν ξεκινάει από το μηδέν ούτε καταλήγει σε αυτό. Ουσιαστικά το αξίωμα έχει άμεση σχέση με το ουδέν εξ ουδενός. Αυτό όμως απαιτεί έναν ακριβέστερο ορισμό και επιπλέον συνήθως τού αποδίδεται κάτι πολύ παραπάνω. Συγκεκριμένα, θέλουμε να αποδώσουμε και την έννοια ότι η ύλη κατά βάση διατηρεί κάποιον ιδεατό χαρακτήρα έστω και αν μεταμορφώνεται. Δεν είναι δηλαδή απλώς μια αρχή διατήρησης οπότε θα ταυτιζόταν απλώς με την αρχή διατήρησης της μάζας αλλά μια γενικότερη αντίθεση στη φθορά. Μια πρ ...

                                               

Black jack

                                               

Ίντα Νόντακ

Η Ίντα Νόντακ, η Νέ Τάκκε, ήταν Γερμανίδα χημικός και φυσικός. Το 1934 ήταν η πρώτη που ανέφερε την ιδέα που αργότερα ονομάστηκε πυρηνική σχάση. Με τον σύζυγό της - Γουόλτερ Νόντακ - και τον Όττο Μπεργκ, ανακάλυψε το στοιχείο 75, το ρήνιο. Προτάθηκε τρεις φορές για το βραβείο Νόμπελ Χημείας.

                                               

Ανεπιθύμητη ενέργεια

Η ανεπιθύμητη ενέργεια είναι μια ανεπιθύμητη επιβλαβής επίδραση που έχει προκληθεί από μια φαρμακευτική ουσία ή άλλο αίτιο, όπως το εμβόλιο ή η χειρουργική επέμβαση, και μπορεί να οδηγήσει στην τροποίηση της δοσολογίας ή στην παύση της θεραπείας. Οι ανεπιθύμητες ενέργειες μπορεί να είναι ήπιες, μέτριες ή σοβαρές σε ένταση. Μπορούν επίσης να προκληθούν από ένα εικονικό φάρμακο. Σε αυτή την περίπτωση ονομάζονται nocebo. Εμφανίζονται κατά την έναρξη, τη διάρκεια ή τη διακοπή μιας θεραπείας. Μπορούν επίσης να ονομαστούν "παρενέργειες", όταν κρίνεται ότι είναι δευτερεύουσες σε μια κύρια ή θεραπ ...

                                     

ⓘ Γεγονός (θεωρία πιθανοτήτων)

Στη Θεωρία πιθανοτήτων, γεγονός, ή ενδεχόμενο, ονομάζεται ένα σύνολο απλών γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.

Τα γεγονότα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα. Το απλό γεγονός συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα ω {\displaystyle \,\omega }. Ένα γεγονός περιέχει ένα ή περισσότερα απλά γεγονότα. Ορίζουμε ότι ένα γεγονός πραγματοποιείται ή συμβαίνει, όταν το απλό γεγονός που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράματος τύχης περιέχεται στο γεγονός αυτό. Βέβαιο γεγονός είναι εκείνο που συμβαίνει σε κάθε εκτέλεση του πειράματος τύχης, που γίνεται πάντα κάτω από τις ίδιες συνθήκες.

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης, δηλαδή το σύνολο όλων των απλών γεγονότων του, ονομάζεται δειγματοχώρος ή δειγματικός χώρος του πειράματος και συμβολίζεται με Ω {\displaystyle \Omega \,}. Αν με ω i, i = 1, 2. {\displaystyle \,\omega _{i},i=1.2.} συμβολίσουμε τα απλά γεγονότα του πειράματος, τότε: Ω = { ω 1, ω 2., ω n. } {\displaystyle \Omega \,=\{\omega _{1},\,\omega _{2},\.,\omega _{n},\.\}}. Το Ω {\displaystyle \Omega \,} είναι το ίδιο ένα γεγονός, και μάλιστα βέβαιο. Ένα γεγονός A {\displaystyle \mathrm {A} \,}, του οποίου τα στοιχεία ανήκουν στον δειγματοχώρο Ω {\displaystyle \Omega \,}, λέμε ότι είναι υποσύνολο του Ω {\displaystyle \Omega \,}, και συμβολίζουμε με A ⊆ Ω {\displaystyle \mathrm {A} \,\subseteq \Omega \,} ή με A ⊂ Ω {\displaystyle \mathrm {A} \,\subset \Omega \,} αν γνωρίζουμε με σιγουριά ότι τα στοιχεία που περιλαμβάνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} δεν είναι όλα τα στοιχεία του Ω {\displaystyle \Omega \,}.

Ο ορισμός ενός γεγονότος είναι απλή υπόθεση, όταν το πλήθος των στοιχείων του δειγματοχώρου των αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης δηλαδή είναι πεπερασμένο. Αν είναι άπειρο ανακύπτουν πολλές δυσκολίες.

                                     

1. Ένα απλό παράδειγμα

Ας πάρουμε μία τράπουλα με 52 τραπουλόχαρτα, χωρίς μπαλαντέρ. Αν τραβήξουμε ένα χαρτί, αυτό είναι ένα απλό γεγονός και ο δειγματοχώρος μας είναι τα 52 τραπουλόχαρτα. Ένα γεγονός είναι κάθε υποσύνολο του δειγματοχώρου συμπεριλαμβανομένων καθενός από τα απλά γεγονότα, του κενού συνόλου και των 52 χαρτιών μαζί, δηλαδή του ίδιου του δειγματοχώρου αλλιώς, του βέβαιου γεγονότος. Γεγονός μπορεί να είναι:

  • Να τύχει το φύλλο Άσσος Σπαθί.1 φύλλο
  • Να τύχει φιγούρα δηλαδή ή Ρήγας ή Βαλές ή Ντάμα.12 φύλλα
  • Να μην τύχει Άσσος οποιουδήποτε χρώματος.48 φύλλα
  • Να τύχει ένα φύλλο Καρώ.13 φύλλα
                                     

2.1. Πράξεις με γεγονότα Ισότητα

Δύο γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,}, που όταν συμβαίνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} συμβαίνει πάντα το B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και επίσης, όταν συμβαίνει το B {\displaystyle \mathrm {B} \,} συμβαίνει πάντα το A {\displaystyle \mathrm {A} \,}, λέγονται ίσα, και συμβολίζουμε με A = B {\displaystyle \mathrm {A} \,=\mathrm {B} \,}.

                                     

2.2. Πράξεις με γεγονότα Συμπλήρωμα

Το γεγονός που συμβαίνει ακριβώς τότε, όταν δεν συμβαίνει το A {\displaystyle \mathrm {A} \,}, λέγεται συμπλήρωμα του A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και το συμβολίζουμε με A ′ {\displaystyle \mathrm {A} \,} ή A ¯ {\displaystyle {\bar {\mathrm {A} \,}}}.

Από τον ορισμό αυτόν προκύπτει ότι, αν το απλό ενδεχόμενο ω {\displaystyle \,\omega } ανήκει στο A {\displaystyle \mathrm {A} \,}, τότε δε θα ανήκει στο A ′ {\displaystyle \mathrm {A} \,} και αντίστροφα, αν το ω {\displaystyle \,\omega } ανήκει στο A ′ {\displaystyle \mathrm {A} \,} τότε δε θα ανήκει στο A {\displaystyle \mathrm {A} \,}. Αυτό σημαίνει ότι τα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και A ′ {\displaystyle \mathrm {A} \,}, ως υποσύνολα του δειγματοχώρου Ω {\displaystyle \Omega \,}, είναι συμπληρωματικά σύνολα. Είναι φανερό ότι A ′ ′ = A {\displaystyle \mathrm {A}\,=\mathrm {A} \,}.

                                     

2.3. Πράξεις με γεγονότα Τομή

Το γεγονός που συμβαίνει όταν συμβούν ταυτόχρονα τα γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,}, λέγεται τομή των γεγονότων A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και συμβολίζεται A ∩ B {\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} }. Αν κάτι τέτοιο είναι αδύνατο να συμβεί, τότε λέμε ότι τα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} είναι ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους και συμβολίζουμε με A ∩ B = ∅ {\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} =\varnothing }. Η πράξη της τομής γενικεύεται και για πεπερασμένου ή απείρου πλήθους γεγονότα. Έτσι, το γεγονός που συμβαίνει όταν συμβαίνουν ταυτόχρονα τα γεγονότα A 1, A 2. A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\.\mathrm {A} _{n}\,} είναι η τομή των n γεγονότων που συμβολίζεται A 1 ∩ A 2 ∩. ∩ A n = ⋂ i = 1 n A i {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cap \mathrm {A} _{2}\cap.\cap \mathrm {A} _{n}=\bigcap _{i=1}^{n}\mathrm {A} _{i}\,}.



                                     

2.4. Πράξεις με γεγονότα Ένωση

Το γεγονός που συμβαίνει, όταν συμβεί ένα τουλάχιστον από τα γεγονότα A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,}, λέγεται ένωση των γεγονότων A {\displaystyle \mathrm {A} \,} και B {\displaystyle \mathrm {B} \,} και συμβολίζεται με A ∪ B {\displaystyle \mathrm {A} \cup \mathrm {B} }. Η πράξη αυτή της ένωσης γενικεύεται και για πεπερασμένου πλήθους γεγονότα. Έτσι, το γεγονός που συμβαίνει όταν τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα A 1, A 2. A n {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\.\mathrm {A} _{n}\,} συμβαίνει, είναι η ένωση των n γεγονότων, που συμβολίζεται A 1 ∪ A 2 ∪. ∪ A n = ⋃ i = 1 n A i {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cup \mathrm {A} _{2}\cup.\cup \mathrm {A} _{n}=\bigcup _{i=1}^{n}\mathrm {A} _{i}\,}. Αν τα γεγονότα A 1, A 2, A 3. {\displaystyle \mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\mathrm {A} _{3},\.} είναι ασυμβίβαστα μεταξύ τους ανά δύο και η ένωσή τους είναι όλος ο δειγματοχώρος, αν δηλαδή ισχύει A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪. = Ω {\displaystyle \mathrm {A} _{1}\cup \mathrm {A} _{2}\cup \mathrm {A} _{3}\cup.=\Omega }, και A i ∩ A j = ∅ {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\cap \mathrm {A} _{j}=\varnothing } για κάθε i ≠ j {\displaystyle i\neq j}, τότε λέμε ότι τα γεγονότα αυτά αποτελούν μία διαμέριση του δειγματοχώρου.

                                     

2.5. Πράξεις με γεγονότα Διαφορά

Το γεγονός που συμβαίνει ακριβώς τότε όταν συμβεί το A {\displaystyle \mathrm {A} \,} αλλά δεν συμβεί το B {\displaystyle \mathrm {B} \,}, λέγεται διαφορά του γεγονότος B {\displaystyle \mathrm {B} \,} από το A {\displaystyle \mathrm {A} \,}, και συμβολίζουμε A − B {\displaystyle \mathrm {A} \ \mathrm {B} \,}. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι A − B = A B ′ {\displaystyle \mathrm {A} \ \mathrm {B} \,=\mathrm {A} \,\mathrm {B} \,}.

                                     

3. Ιδιότητες των πράξεων

Ισχύουν οι ιδιότητες:

Η απόδειξη των ιδιοτήτων αυτών, σχεδόν είναι συνέπεια των ορισμών των πράξεων. Παρατίθεται η απόδειξη της τελευταίας.

Έστω ω {\displaystyle \omega \,} ένα απλό ενδεχόμενο που ανήκει στο γεγονός ⋃ i A i ′ {\displaystyle \bigcup _{i}\mathrm {A} _{i}}. Από τον ορισμό του συμπληρωματικού, το ω {\displaystyle \omega \,} δεν ανήκει στην ένωση ⋃ i A i {\displaystyle \bigcup _{i}\mathrm {A} _{i}\,} και επομένως δεν ανήκει σε κανένα από τα A i {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,}, για όλα τα i {\displaystyle i\,} διότι αν ανήκε σε κάποιο A i {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,} θα ανήκε και στην ένωση. Άρα το ω {\displaystyle \omega \,} ανήκει στο A i ′ {\displaystyle \mathrm {A} _{i}\,} για όλα τα i {\displaystyle i\,}, πράγμα που σημαίνει ότι ανήκει στην τομή ⋂ i A i ′ {\displaystyle \bigcap _{i}\mathrm {A} _{i}}. Επομένως, κάθε φορά που πραγματοποιείται το γεγονός ⋃ i A i ′ {\displaystyle \bigcup _{i}\mathrm {A} _{i}} πραγματοποιείται και το γεγονός ⋂ i A i ′ {\displaystyle \bigcap _{i}\mathrm {A} _{i}}. Αντιστρέφοντας τη σειρά των συλλογισμών, διαπιστώνουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο. Άρα, ισχύει: ⋃ i A i ′ = ⋂ i A i ′ {\displaystyle \bigcup _{i}\mathrm {A} _{i}=\bigcap _{i}\mathrm {A} _{i}}.

Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →